Algèbre

Retour à l'index

    1. Propriétés des opérations

    2. Identités remarquables

    3. Fractions

    4. Puissances

    5. Racines carrés et racines n-ièmes

    6. Polynômes

    7. Méthodes de factorisation

    8. Résolution d'équations

 

8. Résolution d'équations  

Dans toute cette section on se restreint à des équations à coefficients réels et on cherche les solutions réelles.

a) Equations polynomiales : Ce sont des équations du type `p(x)=0` où `p(x)` est un polynôme. Des formules existent pour les polynômes de degré `<=4`.

        Théorème fondamental : Une équation polynômiale de degré `n` admet au plus `n` solutions réelles.

    Equation du 1er degré : `ax+b=0 iff x=-b/a`, avec `a!=0`. Une équation du 1er degré admet donc toujours une solution unique.

    Equation du 2e degré :

    Cas particulier : `x^2=k`, où `k` est un réel donné

    Cas général : `ax^2+bx+c=0`, avec `a!=0`

        Le nombre de solutions dépend du discriminant : `Delta=b^2-4ac`

        Cas particuliers :

La somme des racines (s'ils existent) est : `x_1+x_2=-b/a`. Leur produit est : `x_1*x_2=c/a`.

Remarque : Dans le cas où `Delta=0`, la racine double est comptée deux fois.

    Equation du 3e degré :

    Cas particulier : `x^3=k`, où `k` est un réel donné. Cette équation admet toujours une et une seule racine réelle, quel que soit `k` : `x=root3(k)`

    Cas général : `ax^3+bx^2+cx+d=0`, avec `a!=0`.

    Remarque : D'après le théorème des valeurs intermédiaires, une telle équation admet toujours au moins une solution réelle.

                         Sa résolution fait intervenir le plus souvent des nombres complexes. La méthode est due à Jérôme Cardan (1501 - 1576).

                         Seuls les élèves très courageux de 1re essaieront de lire la suite ... :-)

        1re étape : On se ramène à une équation (réduite, c.-à-d. sans terme du 2e degré) du type :

`X^3+pX+q=0`,        (E)

                         en divisant l'équation originale par `a` et en faisant le changement d'inconnue : `X=x+b/(3a)`, c.-à-d. `x=X-b/(3a)`.

        2e étape : L'idée est de chercher `X` sous la forme d'une somme. On pose donc : `X=u+v`. Alors l'équation (E) devient :

`u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q=0`

`iff  u^3+3uv(u+v)+v^3+p(u+v)+q=0`

`iff  (u^3+v^3+q)+(u+v)(3uv+p)=0`

                        On cherche u et v tels que :

`{(u^3+v^3=-q),(uv=-p/3 iff u^3v^3=-p^3/27):}`

                        On est ainsi amené à chercher deux nombres dont on connaît la somme et le produit. Ce système admet toujours une solution `(u^3,v^3)` dans `CC^2` :

                        `u^3` et `v^3` sont les solutions (complexes) de l'équation du 2e degré :

`z^2+qz-p^3/27=0`, dont le discriminant est `q^2+(4p^3)/27=4D`.

`D=p^3/27+q^2/4=(p/3)^3+(q/2)^2` est appelé le discriminant de l'équation (E).

  • Si `D>0`, on alors `u^3=-q/2-sqrt(q^2/4+p^3/27)` et `v^3=-q/2+sqrt(q^2/4+p^3/27)` sont des réels.

        Posant `u_0=root3(-q/2-sqrt(q^2/4+p^3/27))`et  `v_0=root3(-q/2+sqrt(q^2/4+p^3/27))`,  les solutions de (E) se présentent sous la forme :        

        `{(X_1=u_0+v_0 in RR),(X_2=u_0*j+v_0*j^2=-(u_0+v_0)/2+(u_0-v_0)/2*sqrt(3)i),(X_3=u_0j^2+v_0j=-(u_0+v_0)/2-(u_0-v_0)/2*sqrt(3)i=bar(X)_2):}`

        où `j=-1/2+isqrt(3)/2=text(cis)((2pi)/3)` est une racine cubique complexe de l'unité.

        Remarquons que `X_1` est réel et `X_2` et `X_3` sont complexes conjugués.

  • Si `D=0`, alors `u_0=v_0=root3(-q/2)` sont toujours réels et les trois solutions `X_1`, `X_2` et `X_3` (voir ci-dessus) sont réelles avec `X_2=X_3`.

  • Si `D<0` (casus irreducibilis) alors `u^3=-q/2-isqrt(-D)=` et `v^3=-q/2+isqrt(-D)` sont complexes conjugués.

  • Leur module commun est `sqrt(-p^3/27)` et leurs arguments sont respectivement `pm phi` où `cos phi=(-q/2)/sqrt(-p^3/27)`

    Les solutions de l'équation sont toutes réelles et se présentent sous la forme :

     `{(X_1=2sqrt((-p)/3)cos (phi/3)),(X_2=-2sqrt((-p)/3)cos ((phi-pi)/3)),(X_3=-2sqrt((-p)/3)cos ((phi+pi)/3)):}`

        3e étape : On trouve les solutions de l'équation originale en additionnant `-b/(3a)` aux solutions `X_1`, `X_2` et `X_3` de (E).

    Equation de degré n :

    Cas particulier important : `x^n=k`, où `n` est un entier `>=2` et `k` est un réel donné

    1er cas : `n` est pair

    2e cas : `n` est impair

            Alors l'équation admet toujours une et une seule racine réelle, quel que soit `k` : `x=rootn(k)` 

b) Equations rationnelles : Ce sont des équations du type `(p(x))/(q(x))=0` où `p(x)` et `q(x)` sont des polynômes.

    On cherche d'abord les conditions d'existence : `q(x)!=0`.

    Les solutions de l'équation sont les racines de `p(x)` qui ne sont pas des racines de `q(x)`. 

 

Retour en haut de la page