5. Racines carrés et racines n-ièmes
8. Résolution d'équations |
Dans toute cette section on se restreint à des équations à coefficients réels et on cherche les solutions réelles.
a) Equations polynomiales : Ce sont des équations du type `p(x)=0` où `p(x)` est un polynôme. Des formules existent pour les polynômes de degré `<=4`.
Théorème fondamental : Une équation polynômiale de degré `n` admet au plus `n` solutions réelles.
Equation du 1er degré : `ax+b=0 iff x=-b/a`, avec `a!=0`. Une équation du 1er degré admet donc toujours une solution unique.
Equation du 2e degré :
Cas particulier : `x^2=k`, où `k` est un réel donné
Si `k>0` alors l'équation admet deux solutions distinctes : `x=pm sqrt(k)`
Si `k=0` alors l'équation admet une solution unique : `x=0`
Si `k<0` alors l'équation n'admet pas de solution réelle.
Cas général : `ax^2+bx+c=0`, avec `a!=0`
Le nombre de solutions dépend du discriminant : `Delta=b^2-4ac`
Si `Delta>0`, alors l'équation admet deux solutions distinctes : `x_1=(-b-sqrt(Delta))/(2a)` et `x_2=(-b+sqrt(Delta))/(2a)`
Si `Delta=0`, alors l'équation admet une solution unique (racine double) : `x_1=x_2=-b/(2a)`
Si `Delta<0`, alors l'équation n'admet pas de solution réelle.
Cas particuliers :
Si `b=0`, alors l'équation devient : `ax^2+c=0 iff x^2=-c/a`. C'est donc une équation du type `x^2=k`, où `k` est un réel donné (voir plus haut).
Si `c=0`, alors l'équation peut être résolue en mettant `x` en évidence : `ax^2+bx=0 iff x(ax+b)=0 iff x=0 text( ou ) x=-b/a`
La somme des racines (s'ils existent) est : `x_1+x_2=-b/a`. Leur produit est : `x_1*x_2=c/a`.
Remarque : Dans le cas où `Delta=0`, la racine double est comptée deux fois.
Equation du 3e degré :
Cas particulier : `x^3=k`, où `k` est un réel donné. Cette équation admet toujours une et une seule racine réelle, quel que soit `k` : `x=root3(k)`
Cas général : `ax^3+bx^2+cx+d=0`, avec `a!=0`.
Remarque : D'après le théorème des valeurs intermédiaires, une telle équation admet toujours au moins une solution réelle.
Sa résolution fait intervenir le plus souvent des nombres complexes. La méthode est due à Jérôme Cardan (1501 - 1576).
Seuls les élèves très courageux de 1re essaieront de lire la suite ... :-)
1re étape : On se ramène à une équation (réduite, c.-à-d. sans terme du 2e degré) du type :
`X^3+pX+q=0`, (E)
en divisant l'équation originale par `a` et en faisant le changement d'inconnue : `X=x+b/(3a)`, c.-à-d. `x=X-b/(3a)`.
2e étape : L'idée est de chercher `X` sous la forme d'une somme. On pose donc : `X=u+v`. Alors l'équation (E) devient :
`u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q=0`
`iff u^3+3uv(u+v)+v^3+p(u+v)+q=0`
`iff (u^3+v^3+q)+(u+v)(3uv+p)=0`
On cherche u et v tels que :
`{(u^3+v^3=-q),(uv=-p/3 iff u^3v^3=-p^3/27):}`
On est ainsi amené à chercher deux nombres dont on connaît la somme et le produit. Ce système admet toujours une solution `(u^3,v^3)` dans `CC^2` :
`u^3` et `v^3` sont les solutions (complexes) de l'équation du 2e degré :
`z^2+qz-p^3/27=0`, dont le discriminant est `q^2+(4p^3)/27=4D`.
`D=p^3/27+q^2/4=(p/3)^3+(q/2)^2` est appelé le discriminant de l'équation (E).
Si `D>0`, on alors `u^3=-q/2-sqrt(q^2/4+p^3/27)` et `v^3=-q/2+sqrt(q^2/4+p^3/27)` sont des réels.
Posant `u_0=root3(-q/2-sqrt(q^2/4+p^3/27))`et `v_0=root3(-q/2+sqrt(q^2/4+p^3/27))`, les solutions de (E) se présentent sous la forme :
`{(X_1=u_0+v_0 in RR),(X_2=u_0*j+v_0*j^2=-(u_0+v_0)/2+(u_0-v_0)/2*sqrt(3)i),(X_3=u_0j^2+v_0j=-(u_0+v_0)/2-(u_0-v_0)/2*sqrt(3)i=bar(X)_2):}`
où `j=-1/2+isqrt(3)/2=text(cis)((2pi)/3)` est une racine cubique complexe de l'unité.
Remarquons que `X_1` est réel et `X_2` et `X_3` sont complexes conjugués.
Si `D=0`, alors `u_0=v_0=root3(-q/2)` sont toujours réels et les trois solutions `X_1`, `X_2` et `X_3` (voir ci-dessus) sont réelles avec `X_2=X_3`.
Si `D<0` (casus irreducibilis) alors `u^3=-q/2-isqrt(-D)=` et `v^3=-q/2+isqrt(-D)` sont complexes conjugués.
Leur module commun est `sqrt(-p^3/27)` et leurs arguments sont respectivement `pm phi` où `cos phi=(-q/2)/sqrt(-p^3/27)`
Les solutions de l'équation sont toutes réelles et se présentent sous la forme :
`{(X_1=2sqrt((-p)/3)cos (phi/3)),(X_2=-2sqrt((-p)/3)cos ((phi-pi)/3)),(X_3=-2sqrt((-p)/3)cos ((phi+pi)/3)):}`
3e étape : On trouve les solutions de l'équation originale en additionnant `-b/(3a)` aux solutions `X_1`, `X_2` et `X_3` de (E).
Equation de degré n :
Cas particulier important : `x^n=k`, où `n` est un entier `>=2` et `k` est un réel donné
1er cas : `n` est pair
Si `k>0` alors l'équation admet deux solutions distinctes : `x=pm rootn(k)`
Si `k=0` alors l'équation admet une solution unique : `x=0`
Si `k<0` alors l'équation n'admet pas de solution réelle.
2e cas : `n` est impair
Alors l'équation admet toujours une et une seule racine réelle, quel que soit `k` : `x=rootn(k)`
b) Equations rationnelles : Ce sont des équations du type `(p(x))/(q(x))=0` où `p(x)` et `q(x)` sont des polynômes.
On cherche d'abord les conditions d'existence : `q(x)!=0`.
Les solutions de l'équation sont les racines de `p(x)` qui ne sont pas des racines de `q(x)`.