5. Racines carrés et racines n-ièmes
| 2. Identités remarquables |
a) 2e degré :
Carré d'une somme : ${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$
Carré d'une différence : ${\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$
Différence de deux carrés : $\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = {a^2} - {b^2}$
| Carré d'une somme de plusieurs termes : | ${\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca$ |
| ${\left( {a - b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2bc + 2ca$ | |
| ${\left( {a - b - c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab + 2bc - 2ca$ |
b) 3e degré :
Cube d'une somme : ${\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}$
Cube d'une différence : ${\left( {a - b} \right)^3} = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}$
Somme de deux cubes : ${a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)$
Différence de deux cubes : ${a^3} - {b^3} = \left( {a- b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)$
c) Degré quelconque :
Formule du binôme de Newton : ${\left( {a + b} \right)^n} = \sum_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} $
où les ${C_n^k}$ sont les coefficients binomiaux, obtenus dans le triangle de Pascal :
n
k 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1
Par exemple : ${\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}$
Différence de deux puissances n-ièmes : ${a^n} - {b^n} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n-1}}} \right)$
| Par exemple : | ${a^4} - {b^4} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^3} + {a^2}b + a{b^2} + {b^3}} \right)$ |
| ${a^5} - {b^5} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^4} + {a^3}b + {a^2}{b^2} + a{b^3} + {b^4}} \right)$ |