5. Racines carrés et racines n-ièmes
4. Puissances |
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a) Puissances à exposants dans `NN`
Définition : ${a^n} = a \cdot a \cdot ... \cdot a$, où $a$ est la base et $n$ est l'exposant
Cas particulier : ${a^0} = 1$, mais ${0^0}$ n'existe pas !
Puissance d'un produit : ${\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}$
Puissance d'un quotient : ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}$
Puissance d'une puissance : ${\left( {{a^n}} \right)^m} = {a^{n \cdot m}}$
Produit de puissances de même base : ${a^n} \cdot {a^m} = {a^{n + m}}$
Quotient de puissances de même base : `a^(n)/a^(m)={(a^(n-m), text( si ) n>=m),(1/(a^(m-n)), text( si ) n<m):}`
Puissance d'une somme, d'une différence : voir identités remarquables.
Attention ! `(a+b)^2 \ne a^2+b^2`, `(a-b)^2 \ne a^2-b^2`.
En général : `(a+b)^n \ne a^n+b^n` et `(a-b)^n \ne a^n-b^n`
b) Puissances à exposants dans `ZZ`
Définition : ${a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}$, si $a \ne 0$
Par exemple : ${a^{ - 1}} = \frac{1}{a}$
Toutes les formules de la section précédente restent valables.
Dans la dernière formule, on n'a pas besoin de distinguer deux cas : $\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n - m}}$
Règle pratique : Si une puissance passe du numérateur au dénominateur ou vice-versa, alors son exposant change de signe : $\frac{{{a^{ - m}}}}{{{b^{ - n}}}} = \frac{{{b^n}}}{{{a^m}}}$
c) Puissances à exposants dans `QQ`
Définition : `a^(p/q)=rootq(a^(p))`, où $a > 0$, `p \in ZZ` et q est un entier naturel $\ge 2$ (voir la section suivante).
Exemples importants : `a^(1/2)=sqrt(a)`, `a^(1/3)=root3(a)`, `a^(-1/2)=1/sqrt(a)`, `a^(-1/3)=1/root3(a)`, etc.
Toutes les formules des sections précédentes restent valables, à condition de respecter les conditions de la définition.
Simplification : Les exposants fractionnaires sont pratiques pour effectuer les calculs, mais dans le résultat final on préfère la notation `rootq(a^(p))`, avec $0 < p < q$.
Par exemple : `a^(-3/2)=1/sqrt(a^3)=1/(a sqrt(a)`, `a^(15/12)=a^(5/3)=a root3(a^2)`, etc.