Algèbre

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    1. Propriétés des opérations

    2. Identités remarquables

    3. Fractions

    4. Puissances

    5. Racines carrés et racines n-ièmes

    6. Polynômes

    7. Méthodes de factorisation

    8. Résolution d'équations

 

4. Puissances

 

a) Puissances à exposants dans `NN`

    Définition : ${a^n} = a \cdot a \cdot ... \cdot a$, où $a$ est la base et $n$ est l'exposant

    Cas particulier : ${a^0} = 1$, mais ${0^0}$ n'existe pas !

    Puissance d'un produit : ${\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}$

    Puissance d'un quotient : ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}$

    Puissance d'une puissance : ${\left( {{a^n}} \right)^m} = {a^{n \cdot m}}$

    Produit de puissances de même base : ${a^n} \cdot {a^m} = {a^{n + m}}$

    Quotient de puissances de même base : `a^(n)/a^(m)={(a^(n-m), text( si ) n>=m),(1/(a^(m-n)), text( si ) n<m):}`

    Puissance d'une somme, d'une différence : voir identités remarquables.

        Attention !   `(a+b)^2 \ne a^2+b^2`,  `(a-b)^2 \ne a^2-b^2`.

                              En général : `(a+b)^n \ne a^n+b^n` et `(a-b)^n \ne a^n-b^n`

b) Puissances à exposants dans `ZZ`

    Définition : ${a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}$, si $a \ne 0$

        Par exemple : ${a^{ - 1}} = \frac{1}{a}$

    Toutes les formules de la section précédente restent valables.

    Dans la dernière formule, on n'a pas besoin de distinguer deux cas : $\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n - m}}$

    Règle pratique : Si une puissance passe du numérateur au dénominateur ou vice-versa, alors son exposant change de signe : $\frac{{{a^{ - m}}}}{{{b^{ - n}}}} = \frac{{{b^n}}}{{{a^m}}}$

c) Puissances à exposants dans `QQ`

    Définition : `a^(p/q)=rootq(a^(p))`, où $a > 0$, `p \in ZZ` et q est un entier naturel $\ge 2$ (voir la section suivante).

        Exemples importants :  `a^(1/2)=sqrt(a)`, `a^(1/3)=root3(a)`,  `a^(-1/2)=1/sqrt(a)`, `a^(-1/3)=1/root3(a)`, etc.

    Toutes les formules des sections précédentes restent valables, à condition de respecter les conditions de la définition.

    Simplification : Les exposants fractionnaires sont pratiques pour effectuer les calculs, mais dans le résultat final on préfère la notation  `rootq(a^(p))`, avec $0 < p < q$.

        Par exemple :  `a^(-3/2)=1/sqrt(a^3)=1/(a sqrt(a)`, `a^(15/12)=a^(5/3)=a root3(a^2)`, etc.

 
 

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