5. Racines carrés et racines n-ièmes
| 5. Racines carrées et racines n-ièmes |
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a) Racine carrée
Condition d'existence : $\sqrt a $ existe $ \Leftrightarrow a \ge 0$
Racine carrée d'un produit : $a,b \ge 0 \Rightarrow \sqrt {ab} = \sqrt a \sqrt b $
Racine carrée d'un quotient : $a,b \ge 0 \Rightarrow\sqrt {\frac{a}{b}} = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$
Racine carrée d'une puissance : $a \ge 0 \Rightarrow \sqrt {{a^2}} = a$, $\sqrt {{a^4}} = {a^2}$ et plus généralement $\sqrt {{a^{2n}}} = {a^n}$
$a \ge 0 \Rightarrow\sqrt {{a^3}} = a\sqrt a$, $\sqrt {{a^5}} = {a^2 \sqrt a}$ et plus généralement $\sqrt {{a^{2n+1}}} = {a^n\sqrt a}$
$a \in $`RR` $\Rightarrow \sqrt {{a^2}} =$ `|a|`, $\sqrt {{a^4}} =a^2$, $\sqrt {{a^6}} =$ `|a|^3`, $\sqrt {{a^8}} =a^4$, etc.
Attention ! Il n'y a pas de formule portant sur la racine carrée d'une somme ou d'une différence :
$\sqrt {a + b} \ne \sqrt a + \sqrt b $ et $\sqrt {a - b} \ne \sqrt a - \sqrt b $ et par conséquent : $\sqrt {{a^2} + {b^2}} \ne a + b$
b) Racine cubique
Condition d'existence : `root3(a)` existe pour tout réel a
Racine cubique d'un produit : `root3(ab)=root3(a)*root3(b)`
Racine cubique d'un quotient : `root3(a/b)=root3(a)/root3(b)`
Racine cubique d'une puissance : `root3(a^n)=root3(a)^n`
`root3(a^3)=a`, `root3(a^6)=a^2`, `root3(a^9)=a^3` et plus généralement : `root3(a^(3n))=a^n`
`root3(a^4)=a*root3(a)`, `root3(a^7)=a^2*root3(a)`, `root3(a^10)=a^3*root3(a)` et plus généralement : `root3(a^(3n+1))=a^n*root3(a)`
`root3(a^5)=a*root3(a^2)`, `root3(a^8)=a^2*root3(a^2)`, `root3(a^11)=a^3*root3(a^2)` et plus généralement : `root3(a^(3n+2))=a^n*root3(a^2)`
c) Racine n-ième
Condition d'existence : n pair `>=2 => rootn(a)`existe `<=> a>=0`
n impair `>=3 => rootn(a)` existe pour tout réel a
Racine n-ième d'un produit : `rootn(ab)=rootn(a) rootn(b)`
Racine n-ième d'un quotient : `rootn(a/b)=rootn(a)/rootn(b)`