5. Racines carrés et racines n-ièmes
| 7. Méthodes de factorisation |
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Factoriser une expression c'est la transformer en un produit.
a) Mise en évidence : $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot \left( {b + c} \right)$
(voir distributivité de la multiplication par rapport à l'addition / soustraction dans les propriétés des opérations)
c) Méthode du groupement de termes : `ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)`
`ax+ay-bx-by=a(x+y)-b(x+y)=(a-b)(x+y)`
`ax-ay+bx-by=a(x-y)+b(x-y)=(a+b)(x-y)`
`ax-ay-bx+by=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x+y)` etc.
d) Factorisation d'un trinôme du 2e degré :
Soit `p(x)=a*x^2+bx+c` un trinôme du 2e degré et `Delta=b^2-4ac` son discriminant.
Si `Delta>0`, alors `p(x)` admet deux racines distinctes `x_1` et `x_2` et `p(x)=a*(x-x_1)*(x-x_2)`
Si `Delta=0`, alors `p(x)` admet une seule racine `x_0` et `p(x)=a*(x-x_0)^2`
Si `Delta<0`, alors `p(x)` n'admet pas de racine et `p(x)` ne se factorise pas
Voir également : équation du 2e degré.
e) Factorisation d'un polynôme à coefficients entiers :
Soit `p(x)=a_n*x^n+a_(n-1)*x^(n-1)+...+a_1*x+a_0` un polynôme de degré `n` à coefficients entiers.
a) Si `p(x)` admet une racine entière `r` alors nécessairement `r` est un diviseur de `a_0`.
b) Si `p(x)` admet une racine rationnelle `r/s` alors nécessairement `r` est un diviseur de `a_0` et `s` est un diviseur de `a_n`.
Dès que l'on a trouvé une racine entière ou rationnelle `a` de `p(x)`, on sait qu'il est divisible par `x-a`, c.-à-d. `p(x)=(x-a)*q(x)`.
Le quotient `q(x)` est déterminé grâce au schéma de Horner.
Remarque : Cette méthode ne permet pas de déterminer les racines irrationnelles éventuelles de `p(x)`.
Exemple :