5. Racines carrés et racines n-ièmes
a) Propriétés de l'addition :
Commutativité : $a+b=b+a$
Associativité : $\left( {a + b} \right) + c = a + \left( {b + c} \right)$
0 est l'élément neutre : $a + 0 = 0 + a = a$
Symétrie : $a + \left( { - a} \right) = \left( { - a} \right) + a = 0$
$-a$ est appelé l'opposé de $a$
b) Propriétés de la multiplication :
Commutativité : $a \cdot b = b \cdot a$
Associativité : $\left( {a \cdot b} \right) \cdot c = a \cdot \left( {b \cdot c} \right)$
1 est l'élément neutre : $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$
Symétrie : $a \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \cdot a = 1$, si $a \ne 0$
$\frac{1}{a}$ est appelé l'inverse de $a$
c) Propriétés de la soustraction :
La soustraction n'est pas commutative : $a - b \ne b - a$
Par exemple : `3-5!=5-3`
En effet : $a - b$ et $b-a$ sont opposés, c.-à-d. $b - a = - \left( {a - b} \right)$ (voir propriétés de l'opposé)
La soustraction n'est pas associative : $\left( {a - b} \right) - c \ne a - \left( {b - c} \right)$
Par exemple : $\left( {10 - 2} \right) - 3 = 5$, mais $10 - \left( {2 - 3} \right) = 11$
On a : $a - \left( {b - c} \right) = a - b + c$ (voir propriétés de l'opposé)
d) Propriétés de la division :
La division n'est pas commutative : $a:b \ne b:a$ ou $\frac{a}{b} \ne \frac{b}{a}$
En effet : $\frac{a}{b}$ et $\frac{b}{a}$ sont inverses l'un de l'autre, car $\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1$ (voir propriétés des fractions)
La division n'est pas associative : $\left( {a:b} \right):c \ne a:\left( {b:c} \right)$ ou $\frac{a}{{\frac{b}{c}}} \ne \frac{{\frac{a}{b}}}{c}$
En effet : $\frac{a}{{\frac{b}{c}}} = \frac{{ac}}{b}$ et $\frac{{\frac{a}{b}}}{c} = \frac{a}{{bc}}$ (voir propriétés des fractions)
e) Propriétés mixtes
Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition : $a \cdot \left( {b + c} \right) = a \cdot b + a \cdot c$
Distributivité de la multiplication par rapport à la soustraction : $a \cdot \left( {b - c} \right) = a \cdot b - a \cdot c$
| Double distributivité de la multiplication par rapport à +/- : | $\left( {a + b} \right)\left( {c + d} \right) = ac + ad + bc + bd$ |
| $\left( {a - b} \right)\left( {c + d} \right) = ac + ad - bc - bd$ | |
| $\left( {a - b} \right)\left( {c - d} \right) = ac - ad - bc + bd$ |
Opposé d'une somme : $ - \left( {a + b} \right) = - a - b$
Opposé d'une différence : $ - \left( {a - b} \right) = - a + b = b-a$
Opposé d'un produit : $ - a \cdot b = \left( { - a} \right) \cdot b = a \cdot \left( { - b} \right)$
Opposé d'un quotient : $ - \frac{a}{b} = \frac{{ - a}}{b} = \frac{a}{{ - b}}$
g) Règles de priorité
L'ordre dans lequel les calculs doivent être effectués est le suivant :
1) parenthèses, crochets, accolades
2) puissances
3) multiplications et divisions
4) additions et soustractions